CONTRIBUTION A LA THEORIE NON LINEAIRE DU POTENTIEL

Date : le Vendtrdi 20 Juillet 2007 à 16h à l’Amphi I devant le jury constitué de :
Pr. A. Hba Faculté des Sciences Aïn Chock Président
Pr. A. Benyaiche Faculté des Sciences de Kénitra
Pr. A. Boukricha Faculté des Sciences Mathématiques, Physiques et Naturelles de Tunis (Tunisie)
Pr. O. El Fallah Faculté des Sciences de Rabat
Pr. W. Hansen Faculté de Mathématiques Université de Bielefeld (Allemagne)
Pr. M. R. Hilali Faculté des Sciences de Rabat

Résumé:
L'étude des phénomènes non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique sont non linéaires et la non linéarité intervient, par exemple, dans les équations décrivant les surfaces minimales, dans les équations de la théorie quantique des champs, les équations de réaction-diffusion, dans les phénomènes de combustion, dans la dynamique des populations, ... .
Les équations aux dérivées partielles (EDP) jouent un rôle prépondérant dans la modélisation et la description de ces phénomènes naturels. Bien qu’un certain nombre de questions propres aux problèmes linéaires peuvent se généraliser aux problèmes non linéaires, la non linéarité dans ces équations rend très difficile leurs traitements par les méthodes classiques d'analyse linéaire.
Dans ce travail, on utilise un arsenal important de méthodes d'analyse fonctionnelle non linéaire et de la théorie des opérateurs non linéaire, afin de développer une théorie non linéaire du potentiel pour des équations elliptiques, les espaces de balayage, les noyaux et résolvantes non linéaires. Cette thèse est composée de six chapitres sur des sujets d'apparence différents mais tous liés à la théorie non linéaire du potentiel.
Le premier étudie la théorie du potentiel pour des opérateurs elliptiques non linéaires du second ordre à coefficients discontinus.
Le second et le troisième traitent la théorie du potentiel associée à des opérateurs quasi-linéaires elliptiques, satisfaisant des conditions de structure appropriées. On montre que le faisceau de solutions continues satisfait une théorie axiomatique de Bauer, on y étudie la validité de l'inégalité de Harnack, la propriété de convergence de Brelot, l'existence d'une fonction d'Evans et de Keller-Osserman.
On montre, dans le quatrième et le cinquième chapitres, l'existence et l'unicité du problème de Dirichlet dans un cadre plus générale, à savoir les espaces de balayage muni de perturbations non linéaires, le cas des potentiels des Riesz est y traité à titre d’exemple.
Le dernier chapitre est consacré à l’étude des perturbations des résolvantes vérifiant le principe complet du maximum par des fonctions de Carathéodory non linéaires.

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Mots-clefs: Equations elliptiques non linéaires - Equations paraboliques non linéaires - Equations intégrodifférentielles -, Théories axiomatiques du potentiel - Théorie non linéaire du potentiel - Espaces Harmoniques - Espaces de Balayage- Perturbations non linéaires des opérateurs.