Problème : Noyau comme gaz(neutrons) $\oplus$ gaz(protons)

Un noyau composé de $A=N + Z$ nucléons et de volume $\Omega$ peut être considéré comme un mélange de deux gaz de fermions, un pour les neutrons et un pour les protons.

1. Exprimer la densité des neutrons $(\rho_{n}=\frac{N}{\Omega})$ et des protons $(\rho_{p}=\frac{Z}{\Omega})$ en fonction de l'impulsion de fermi $k_{F}^{n}$ et $k_{F}^{p}$, donner la densité totale $\rho=\frac{A} {\Omega}$ en fonction de l'impulsion de Fermi $k_{F}$ et montrer que :
   $${\bf (k_{F}^{n})^{3} + (k_{F}^{p})^{3} = 2\times(k_{F})^{3}}$$
2. Calculer les énergies de Fermi $E_{F}^{n}$ et $E_{F}^{p}$ correspondant aux neutrons et aux protons ainsi que l'énergie de de Fermi $E_{F}$ correspondant aux A nucléons ?
3. Calculer l'énergie cinétique totale des N neutrons et l'énergie cinétique totale des Z protons et montrer que l'énergie cinétique totale des A nucléons du noyau est donnée par :

   $$T = \frac{3}{10}E_{F}A(\frac{2N}{A})^{\frac{3}{5}} + (\frac{2Z}{A})^{\frac{3}{5}}$$ (1.2)

   
   
4. En développant T par rapport à $\epsilon = N-Z$ jusqu'au deuxième ordre montere que l'énergie d'asymétrie est bien de la forme : $\frac{(N-Z)^{2}}{A}$
   Sachant que $E_{F} = 39 MeV$, évaluer la contribution de l'énergie cinétique, au terme de d'asymétrie de la formule de Bethe et We$\ddot{i}$sz$\ddot{a}$cker $a_{a} = 23.6 MeV$. Conclusion ?
5. En comparant les énergies de liaison de deux isobares A dans le cas où $A = Z_{\circ} + N_{\circ}$ avec $Z_{\circ} = N_{\circ}$ et $A = Z + N$ avec $N \ne Z$, montrer que l'énergie potentielle contribue au terme d'énergie de la formule de masse et que cette contribution es donnée par : $\frac{(N-Z)}{2}{\times}V_{a}$
   avec $V_{a} = \frac{V_{n}-V_{p}}{2}$ et $V_{n} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}V_{n}(i)$ et $V_{p} = \frac{1}{Z}\sum_{i=1}^{Z}V_{p}(i)$
6. En déduire un ordre de grandeur de $V_{a}$ en fonction de $\frac{(N-Z)}{A}$.