Problème : Parabole de masse

On donne l'expression de la formule de We$\ddot{i}$sz$\ddot{a}$cker donnant la masse d'un atome neutre $^{A}_{Z}X$ correspondant au noyau(A,Z) sous la forme :

$$M(A,Z)=ZM_{H} + (A-Z)M_{n} - a_{v}A + a_{s}A^{\frac{2}{3}} +  a_{c}A^{\frac{-1}{3}}Z^2 + a_{a}\frac{(A-2Z)^2}{A} \pm \delta$$ (1.1)

(On se limitera aux valeurs impaires de A )

1. Montrer que M(A,Z) se met sous la forme M(A,Z) = $\alpha Z^{2} + \beta Z + \gamma$ et trouver l'expression de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$.
   Montrer que la parabole M(A,Z)admet un minimum $Z_{0}$et trouver l'expression de $Z_{0}$. Montrer que ${\bf M(A,Z)-M(A,Z_0)=\alpha (Z-Z_{0})^2}$.

2. En utilisant cette dernière relation donner l'exprssion de l'énergie disponible pour une désintegration $\beta^{-}$. À partir du noyau (A,Z),quelle relation doit-il exister entreZet $Z_{0}$ pour que l'émission $\beta^{-}$ soit énergétiquement possible ?

3. Déterminer les valeurs numériques de $\alpha$ et $Z_{\circ}$ correspendant à A=131 sachant que les énergies disponibles pour désintegration $\beta^{-}$ du :
   $^{131}_{52}Te : 2,28 Mev$ et $^{131}_{53}I : 0,97Mev$

4. Quelle relation approchée existe-t-il entre les nombres Aet Z pour les noyaux stables A impaire. On trouvera une expression de la forme ${\bf\frac{A}{Z}=f(A)}$, trouverZpour A=239, en déduire une valeur approchée du rapport ${\bf\frac{N}{Z}}$ pour les noyaux lourds au voisinage de A=238.

On donne :

$$M_{n} - M_{H} = 0.7882 MeV, a_{c} = 0.696 MeV, a_{a} = 23.6 MeV$$