WKB

Une particule de masse m se déplace sur l'axe OX. Elle est soumise à un potentiel V(x) répulsif schématisé sur la figure. Une onde progressive $e^{ikx}$ aborde la barière du côté $x < 0$. soient $Re^{-ikx}$ et $Te^{ikx}$, les ondes réféchies et transmises. On se propose d'étudier $R(E)$ et $T(E)$ dans le cadre d'une approximation WKB.

1. Calculer R et T lorsque $E > V_{\circ}$. Quelle est la condition de validité de ce résultat ?
2. Pour $E < V_{\circ}$, la barière présente deux points tournants en -b et +b. On rappelle les conditions de raccordement corespondantes :
   
   $x < b$
   $\frac{1}{\sqrt{k}} exp[\int_{x}^{b}kdx]$ $\longrightarrow$
   $\frac{1}{2\sqrt{k}} exp[-\int_{x}^{b}kdx]$ $\longrightarrow$
   $x < -b$
   $-\frac{1}{\sqrt{k}} \sin[\int_{x}^{-b}kdx - \frac{\pi}{4}]$ $\longrightarrow$
   $\frac{1}{\sqrt{k}} \cos[\int_{x}^{-b}kdx -\frac{\pi}{4}]$ $\longrightarrow$
   $x > b$
   $-\frac{1}{\sqrt{k}} \sin[\int_{b}^{x}kdx - \frac{\pi}{4}]$
   $\frac{1}{\sqrt{k}} \cos[-\int_{b}^{x}kdx - \frac{\pi}{4}]$
   $x > -b$
   $\frac{1}{\sqrt{k}} exp[\int_{-b}^{x}kdx]$
   $\frac{1}{2\sqrt{k}} exp[-\int_{-b}^{x}kdx]$
   
   
   
   Où nous avons posé $k=\frac{1}{\hbar}{\sqrt{em\vert E-V\vert}}$. Calculer les coefficients de réflexion et de transmission de la barrière (on exploitera dans le calcul, le fait que $\vert T\vert \ll 1$).
3. Outre le potentiel scalaire V(x), l'électron est soumis à un faible champ magnétique $H(x)$ localisé entre -a et +a, dirigé le long de Oz. L'électron incident a un spin polarisé le long de Ox.
   • On représente le vecteur d'état sur la base des états propres de ${\sigma_{z}}$. préciser le vecteur d'état de l'électron incident.
   • Dans le cas $E \gg V_{\circ}$, montrer qu'à la sortie de la barrière, les deux composantes de spin sont déphasées. Calculer ce déphasage.
   • Montrer que ce déphasage est équivalent à une rotation du spin que l'on précisera. Interpreter physiquement.
   • Retrouver ce résultat par un argument purement classique.
4. On suppose maintenant $E \ll V_{\circ}$ et l'on admet que $H(x)$ est localisé entre les deux points tournants $\pm{b}$. Quelle est l'orientation du spin de l'onde transmise ? En déduire le temps que met l'électron à traverser la région interdite $(-b, +b)$ dans l'approximation BKW. Comment serait modifié ce résulat dans un calculplus raffiné.