Opérateur de rotation

Soit $R_{u}(\alpha)$ l'opérateur tel que $\vert\psi^{'}>=R_{u}(\alpha)\vert\psi>$. $R_{u}(\alpha)$ est l'opérateur rotation de l'angle $\alpha$ autour de l'axe $\overrightarrow{Ou}$. Si J est le moment cinétique total du système, sa composante $J_{u}$ suivant l'axe $\overrightarrow{Ou}$ est liée à l'opérateur de rotation infinitésimale (angle $d\alpha$) autour de cet axe par la relation :

$$R_{u}(\alpha) = 1 - (\frac{i}{\hbar})J_{u}d\alpha$$

1. Justifier la relation précédente dans le cas où $J = L$ est un moment cinétique orbital.
2. Montrer en utilisant la conservation de la norme de $\vert\psi>$ dans la rotation $R_{u}(\alpha)$ que R est un opératuer unitaire.
3. Soit A un opérateur hermétique représentant une grandeur physique et $A^{'}$ sa transformée dans une rotation R.
   En écrivant que la valeur moyenne de A dans l'état $\vert\psi>$ est la même que la valeur moyenne de $A^{'}$ dans l'état $\vert\psi^{'}>$, établir que :
   
   $$A^{'} = R^{+}AR$$
   En déduire que, si A est invariant par rotation (cas d'un scalaire par exemple), on a :
   $[A, J_{u}]=0$ et $[A, J^{2}] = 0$