Notions de base :

On utilise les coordonn ées sans dimension : $Q = \frac{a + a^{+}}{\sqrt{2}}$, $P = \frac{a - a^{+}}{\sqrt{2}}$, $[Q , P] = QP - PQ = i$

1. Etudier l'évolution au cours du temps des valeurs moyennes $<Q>$ et $<P>$, comparer au cas classique.
2. Etudier l'évolution au cours du temps de :
   $\chi=<Q^{2}>-<Q>^{2}$, $\overline{\omega}=<P^{2}>-<P>^{2}$, $\eta=<PQ>+<QP>-2<P><Q>$
   Montrer que ces quantités sont constantes au cours du temps si et seuleument si leur valeur initiale satisfont à $\eta=0$ et $\chi=0$.
3. Calculer $\chi$, $\overline\omega$ et $\eta$ pour le vecteur d'état décrit par la fonction d'onde :
   
   $$F(Q) = (2\pi\sigma)^{-\frac{1}{4}}.e^{i<P>Q-\frac{(Q-<Q>)^{2}}{4\sigma}}$$
   À quelles conditions $\chi$, $\overline\omega$ et $\eta$ seront ils indépendants du temps, comparer $\Delta$P.$\Delta$Q à la limite de Heisenberg.
4. En utilisant deux fois la relation de Glauber $e^{A}e^{B}=e^{A+B}e^\frac{[A,B]}{2}$, montrer que le vecteur d'onde précédent peut s'écrire $\vert F>=\lambda.e^{\alpha.a^{+}}\vert>$, où $\vert>$ est le fondamental de l'oscillateur harmonique et $\alpha=\frac{<Q> + i<P>}{\sqrt{2}}$. On établira au préalable l'expression $\vert F>= e^{i<P>Q} e^{-i<Q>P}\vert>$
5. calculer à une phase près les coefficients du développement de $\vert F>$ sur les états propres de l'oscillateur harmonique. En déduire l'évolution de $\vert F>$ au cours du temps.
6. Calculer la valeur moyenne de l'énergie et comparer au cas classique, calculer $\Delta$E.