Chapitre I




MOUVEMENT HARMONIQUE SIMPLE



I - L'oscillation harmonique simple

Observons le mouvement du pendule d'une horloge.

1- Fluctuation périodique de la valeur d'une grandeur physique autour d'une certaine valeur d'équilibre.

2- S'il n'y a pas d'amortissement le mouvement est permanent (pas de perte d'énergie ).

3 - l'amplitude est constante

4 - La fréquence et la période sont indépendantes de l'amplitude (isochronisme).

5 - La dépendance en fonction du temps de la grandeur qui fluctue peut s'exprimer par une fonction sinusoïdale simple.


A - Système bloc-ressort : Un montage simple constitué d'un bloc attaché à un ressort.

A est l'amplitude de l'oscillation .

La position à partir de la position d'équilibre est donnée par

Où mesurée en radians par seconde est appelée fréquence angulaire, ou pulsation.

Un cycle correspond à :



fréquence mesurée en , hertz (Hz)


Si à t = 0 le bloc n'est pas à x = 0 .....

L'argument est la phase est le déphasage : Constante de phase

Les valeurs de A et de sont déterminées à partir des valeurs de x(t) et de la vitesse


V(t) = à un instant t donné, en particulier à partir des conditions initiales à t = 0.

à t = 0 et x = 0 lorsque


La dérivée première et seconde (vitesse et accélération) s'expriment :


Valeurs extrémales pour x = 0


accélération : pour




Cette forme d'équations différentielles caractérise tous les types d'oscillations harmoniques simples.


Pour avoir un mouvement harmonique simple il faut :



a - A = 0.08 m, T = 0.524 s


b -

à t = 0.6 s la phase est (12x0.6 +0.3) = 7.5 rad --> x = 0.075 m , Vx = 0.333 m/s et a = -10.8m/s2

c -



Exemple du système bloc-ressort :

La force exercée par le ressort est donnée par la loi de Hooke :


La pulsation est donnée par :


et de période :


    1. L'énergie dans un mouvement harmonique simple :


En l'absence de frottement l'énergie mécanique du système Bloc-ressort est constante.

L'énergie mécanique : La somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle

l'énergie potentielle est donnée par :

L'énergie cinétique :


L'énergie mécanique est constante et proportionnelle au carré de l'amplitude.


Exemple 1.2 : Établir l'expression décrivant la courbe sinusoïdale

?

A = 0.03 m, T = 4 s


Exemple 1.3 (page.6)

Un bloc de 2 kg est attaché a un ressort pour lequel k=200 N/m. On l'allonge de 5cm et on le lâche a t=0.

a - Trouver la position en fonction du temps

b - Trouver la vitesse lorsque x=+A/2

c - Trouver l'accélération lorsque x=+A/2

d - Quelle est la force sur le bloc pour


a - L'amplitude A=0.05m,

Pour t =0 x=+A et Vx = 0 on a donc :


b -

c -

d -

Suite Exemple 1.6 (p.9) :

a - déterminer K, U et E pour

b - quel est le module de la vitesse en x=A/2 ?

C - pour quelles valeurs de de x a-t-on K=U? Exprimer la réponse en fonction de A et la comparer avec la figure 1.8.

a-



b -

c -



Exemple 1.4 :


La distance parcourue à partir de la position d'équilibre (le point le plus bas) est :


Pour des petites valeurs de on a : (radians)


fréquence angulaire ou pulsation


La période ne dépend ni de la masse ni de l'amplitude




Le pendule composé : oscillations d'un corps solide de moment d'inertie I :





Le pendule de torsion :

Le moment de rappel :avec ( ) le moment de force de rappel




    1. Oscillations amorties et oscillations forcées : (FACULTATIF)

système oscillant soumis à une force de résistance proportionnelle à la vitesse :

pour des vitesses faibles

g est la constante d'amortissement




La pulsation

pour qu'il soit réel il faut que Les oscillations sont sous-amorties


L'amplitude diminue selon


La période des oscillations amorties est :

- Si il n'y a pas d'oscillations le système revient lentement à la position d'équilibre.


Le mouvement est maintenue par application d'une force extérieure (force d'entraînement)




en régime permanent.

d est l'angle de phase entre la position x et la force d'entraînement.



Si g est petit et phénomène de résonance.


Si g est grand le pic de résonance est large et décalé vers les faibles pulsations.


Si g est large il n'y a pas de résonance


A la résonance la force extérieure et la vitesse sont pratiquement en phase, le transfert de puissance à l'oscillateur est maximal.


Aux pulsations inférieures ou supérieures à la valeur de la résonance, la force et la vitesse ne sont pas en phase, et le transfert de puissance est plus faible.


Chapitre II :

LES ONDES MECANIQUES


I - CARACTERISTIQUES DES ONDES :



Une onde est une perturbation qui se propage sans déplacement de matière


Les ondes mécaniques : ondes sonores, vagues, ...

Les ondes électromagnétiques : Lumière, ondes radio, ondes TV, ce sont des ondes qui peuvent se propager dans le vide.


1 - Ondes transversales :

Le déplacement des particules est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde.

Exemple : un bouchon oscillant sous l'effet de vagues concentriques sur la surface d'un liquide.( mouvement de haut en bas )

2 - Ondes longitudinales :

Le déplacement des particules est parallèle à la direction de propagation de l'onde.


Une onde est une perturbation (impulsion) par rapport à un état normal ou d'équilibre qui se propage sans transport de matière.


La perturbation créée par une onde est représentée par une fonction d'onde.

Cas d'une corde : fonction. d'onde est un déplacement (vectoriel)

Cas des ondes sonores : la f.o est la fluctuation de pression ou de densité (scalaire).

Cas des ondes lumineuses ou ondes radio : la fonction. d'onde est un vecteur champ électrique ou champ magnétique


3 - Superposition d'ondes :

La fonction d'onde résultante est donnée par le principe de superposition linéaire


Suivant la nature de l'onde il peut s'agir d'une somme algébrique ou vectorielle.

La superposition de deux ondes ou plus donne lieu au phénomène d'interférence.

Interférence constructive si les ondes sont de même signe.

Interférence destructive si les ondes sont de signes opposés.


II LA VITESSE D'UNE IMPULSION SUR UNE CORDE :


La hauteur de l'impulsion est petite, approximation des petits angle

densité de masse linéique

qui donne


Exemple 2.1:


Corde passant par une poulie et dont une extrémité est fixe, à son autre extrémité est attaché un bloc de masse m = 2.0kg.

Question : quelle est la vitesse de l'impulsion transversale sur la corde ?


- La tension de la corde est : T=P=m.g = 9.8 x 2 = 19.6 N

1 - La réflexion et la transmission :

Dans le cas d'une extrémité fixe l'onde réfléchie est inversée.

Dans le cas d'une extrémité mobile l'onde réfléchie n'est pas inversée

Exemple 2.2 :

On suppose que la vitesse d'une impulsion sur une corde est fonction uniquement de la tension et de la densité linéique . On donne

Utiliser l'analyse dimensionnelle pour déterminer x et y


Û L.T-1 = (MxLxT-2x)(M y L-y)


0 = x + y

1 = x - y x = ½ et y = -1/2

-1 = -2x

avec k = 1 car

Exemple 2.3 :

Deux cordes sont faites du même matériau. La corde 1 a un diamètre deux fois plus grand que la corde 2 mais elle est soumise à la moitié de sa tension.

Densités linéiques des cordes proportionnelle a leur section :

d1 = 2d2 ..........F1 = 0.5 F2

1 - Les ondes progressives :







V est la vitesse de propagation de l'onde (célérité )


Une impulsion qui se propage dans la direction des x négatifs :


2 Les ondes sinusoïdales progressives :


Nombre d'onde (rad/m)

Onde se propageant suivant x positif :


Propagation suivant x négatif :


Dans ces deux cas on a y=0 pour x=0 et t=0 comme ce n'est pas souvent le cas :



Exemple 2.4

A t=0 une impulsion est représentée par :



Quelle est la fonction qui la décrit à un instant quelconque sachant qu'elle se déplace dans la direction des x positifs à 3 m/s ? Dessiner l'impulsion à t =0 , t=1s et 2s.




A t=0 , le déplacement est


A t = 1 , le déplacement est


A t = 2 , le déplacement est


Exemple 2.5

Soit une onde d'équation :

Trouver :

a - La longueur d'onde, la fréquence et la vitesse de propagation de l'onde

b - La vitesse et l'accélération d'une particule située sur le chemin de l'onde à x= 0.5 m et t = 0.05 s.


le nombre d'onde est



Donc dans la direction des x positifs.


B - La vitesse et l'accélération de la particule sont :






    1. Les ondes stationnaires :


Deux ondes se propageant dans deux directions opposées,


onde qui ne se propage pas.



Aux noeuds , le milieu de propagation de l'onde est au repos, aux ventres l'amplitude est le double.


Chaque point de la corde effectue un mouvement harmonique sauf aux noeuds (repos).


Noeuds sin(kx) = 0 kx = 0, , , etc

Ventres sin(kx) = +-1, kx = , 3 , 5


Distance entre deux noeuds ou deux ventres est : .


Ondes stationnaires résonantes sur une corde :


corde fixée aux deux extrémités.

La distance entre les deux extrémités doit être égale à une demi longueur d'onde.

, f1 = v/2L

f1 est la fréquence fondamentale ou fréquence du premier harmonique.


Deuxième harmonique : , f2 = v/L = 2 f1

Une onde stationnaire ne peut exister que si la longueur de la corde est un multiple entier de la demi-longueur d'onde.


La longueur d'onde et la fréquence du nième sont données par :


ln = 2L / n

La fréquence dépend de la tension

Aux extrémités : y=0 en x = 0 et y = 0 en x = L

sin(kL) = 0 kL = n p l = 2L/n

k = 2 p/l 2L/l = n


Exemple : Rapport des fréquences des notes La et ré : fLa / f ré = 3/2

Déterminer le rapport des tensions des deux cordes du piano FLa / F ré , sachant que le rapport des longueurs des deux cordes est : LLa / L ré = 4/5

n = 1


L'équation d'onde



toute onde progressive de forme satisfait cette équation.

C'est une équation différentielle linéaire :

Si Y1 et Y2 sont solution toute combinaison linéaire est aussi solution.


La propagation de l'énergie sur une corde :


Une onde qui se propage le long d'une corde transporte de l'énergie, soit une corde excitée a l'une de ses extrémités afin d'y produire une onde sinusoïdale de type :




l'énergie cinétique d'un élément de masse (mdx) est :


l'énergie potentielle de l'élément est égale au travail effectuée pour l'allonger de dx à dl

dU = F(dl -dx) , on suppose que la perturbation est petite c'est à dire la pente dy/dx faible


par conséquent :


l'énergie mécanique de l'élément est DE = dK + dU :



pour une onde sinusoïdale :




On a w = vk et


dE : valeur instantanée de l'énergie devient :


densité d'énergie linéique (J/m)


En tout point la valeur moyenne de la fonction cos est 1/2


La puissance moyenne transmise par l'onde est : (dE/dt)moy :



La vitesse de propagation des ondes :



Deuxième loi de Newton :


comme q est petit :




En comparant cette équation a L'équation d'onde on :


CHAPITRE III LE SON


I - LA NATURE DES ON DES SONNORES


A une température donnée la vitesse du son dans l'air ne dépend de la pression



T = t (oc) + 273


Dans un fluide de densité r et de module de compressibilité K la vitesse des ondes longitudinales est :


avec



Exemple 1 : Calculer la vitesse de propagation des ondes longitudinales :

a - Dans l'eau, sachant que le module de compressibilité de l'eau est de 2.1 x 109 N/m2 et sa masse volumique 103 kg/m3

b - dans l'air a 1 atm sachant que le module de compressibilité de l'air est K = 1.41 105 N/m2

et sa masse volumique de 1.29 kg/m3


dans l'eau



dans l'air


Front d'onde


Ligne qui joint tous les points de même de même déplacement, ensemble de points dont la fonction d'onde a la même phase.

Les ondes stationnaires résonantes :



Si le temps mis par chaque impulsion réfléchie est pour aller et revenir est un multiple convenable de la période de la source, on obtient une onde stationnaire résonante.


Tuyaux fermés :



Extrémité fermée le déplacement est toujours nul, c'est un noeud de déplacement, ce qui correspond a un ventre de pression. Par contre l'extrémité ouverte est un noeud de pression ce qui correspond a un ventre de déplacement.


Le mode fondamental est obtenu pour : L = l/4 f1 = v/4L

Pour un tuyau fermé seul les harmoniques impairs sont possibles : fn = nv/4L

Tuyaux ouverts :


Chaque extrémité ouverte est un ventre de déplacement, la fréquence du fondamental est le double d'un tuyau fermé, dans un tuyau ouvert tous les harmoniques sont possibles :


fn = nv/2L


Le numéro d'un harmonique correspond au rapport entre la fréquence de l'harmonique et la fréquence fondamentale.

Les modes sont numérotés a partir de 1.


Exemple :


On fait varier la longueur d'une colonne d'air en modifiant le niveau d'eau dans un tuyau. On place un diapason vibrant directement au dessus de l'extrémité ouverte. Pendant que le niveau d'eau baisse. On entend, on entend une première résonance lorsque la hauteur de la colonne est égale à 18.9 cm et une deuxième à 57.5 cm. Quelle est la fréquence du diapason? On suppose la vitesse du son égale à 340 m/s.


Tuyau fermé : f = nv/4L = (1 x 340 ) / (4 x 0.189 ) = 450 Hz

f = nv/4L = (3 x 340 ) / (4 x 0.575 ) = 443 Hz


Solution plus précise : la différence des longueurs mesurées corespond exactement à une demi longueur d'onde du son :

l = 2 ( 57.5 -18.9 ) = 77.2 cm


la fréquence : f = v / l = 340 /0.772 = 440 Hz

























L'effet Doppler :


Variation de la fréquence observée lorsqu'il y a mouvement relatif entre la source et l'observateur.


Voiture se rapprochant d'un observateur en klaxonnant, la fréquence observée est plus élevée, elle devient inférieure lorsqu'elle s'éloigne de l'observateur.


Notation : V : vitesse du son , Vs : vitesse de la source , Vo : vitesse de l'observateur, toutes ces vitesses sont considérées par rapport au sol. On suppose que l'air est au repos.


La vitesse du son est :V = f .l


Si la source ou l'observateur est en mouvement la fréquence observée devient f'.


Source au repos :

Supposons que l'observateur se déplace vers la source S a la vitesse Vo. La vitesse des ondes sonores par rapport a O est V' = V + Vo.

mais la longueur d'onde a sa valeur normale. l = V/f


La fréquence entendue par l'observateur est donc :

Si l'observateur s'éloigne de S, la fréquence entendue par O serait

Source en mouvement, observateur au repos :


Supposons que la source S se déplace vers l'observateur, si S était au repos la distance entre les crêtes serait : l = V/f = VT. En mouvement, en une période, S parcourt une distance VsT, la longueur d'onde est donc modifiée



La vitesse des ondes sonores par rapport a O est simplement V ; la fréquence entendue par O est donc :


Si la source S s'éloigne de O, la longueur d'onde effective serait

et la fréquence apparente serait


En combinant les deux :


Les quatre équations de la fréquence peuvent être combinée en une seule équation :




Exemple 3.3 :


Voiture de police roulant a 50m/s, même direction qu'un camion dont la vitesse est de 25 m/s. La sirène a un fréquence de 1200 Hz quelle est la fréquence entendue par le chauffeur du camion lorsque, on suppose la vitesse du son égale a 340 m/s :


a - la voiture est derrière le camion

b - la voiture est devant le camion


a -: le camion tend a s'éloigner de la source :


b -


Exemple 3.4 :


Si le camion et la voiture se déplace en sens opposé, quelle est la fréquence entendue par le chauffeur du camion :

a - lorsque la voiture s'approche

b - une fois qu'elle a dépassée le camion .


A -

b -



L'intensité du son :


Par définition l'intensité I du son est l'énergie incidente par seconde et par unité d'aire normale a la direction de propagation :


Unité SI est le W/m2


Source ponctuelle : Front d'onde des sphères de rayon r :



I proportionnelle à l'inverse du carre de la distance à la source ponctuelle.


Échelle des décibels :


L'oreille humaine sensible : 10-12 W/m2 et 1 W/m2.


Mesure de l'intensité du son a l'aide d'une échelle logarithmique des décibels (dB) définie par



I : intensité mesurée et Io est une valeur de référence.

Io = 10-12 W/m2 , le seuil d'audibilité correspond a


Au seuil supérieur (sensation douloureuse)


Exemple : 3.5

Le son émis par une source atteint un point donné avec une intensité I1. Quelle l'augmentation du nombre de décibels perçus au même point si on ajoute une deuxième source identique a côté de la première




I2 causée par les deux sources I2 = 2I1........................


Doublée l'intensité correspond à une augmentation de 3 dB


Exemple 3.6 :


Un haut-parleur a une puissance de 0.8 W. On suppose qu'il se comporte comme une source ponctuelle émettant uniformément dans toutes les directions. A quelle distance l'intensité du son correspond-elle a 85 dB.




I = 10-12x108.5 = 10-3.5 = 3.16 x 10-4 W/m2



Exemple 3.7 :

la puissance de sortie d'un amplificateur vaut 50 W a 1 Khz et décroît de 1.5 dB a basse fréquence. Quelle est sa puissance de sortie a basse fréquence.





P1 = 50 W et


on trouve P2 = (10-0.15) 50 W = 35.4 W




EXERCICES



I - La position d'une particule en mouvement sur l'axe des x est donnée par


x = 0.08sin(12t + 0.3) m où t est en secondes.


A - Tracer la courbe x(t) représentant cette fonction.

B - Déterminer la position, la vitesse et l'accélération à t = 0.6 s.

C - Quelle est l'accélération lorsque la position est x = -0.05 m.


II -Un bloc de 2 kg est attaché à un ressort pour lequel k = 200 N/m. On l'allonge de 5 cm et on le lâche à t = 0. trouver :

A - La position en fonction du temps

B - la vitesse lorsque x = +A/2

C - l'accélération lorsque x = +A/2

D - Quelle est la force sur le bloc pour t = p/15 s


III - Dans un système bloc-ressort, m=0.2 kg et k=5 N/m. A t = p/10s, le ressort est comprimé de 6 cm (x=-6cm) et la vitesse du bloc est Vx = -40cm/s.

A - Trouver l'équation de la position en fonction du temps et tracer la courbe la représentant

B - Quel est le premier instant (>0) auquel la composante horizontale de la vitesse est positive et égale à 60 % de sa valeur maximale.


IV - Montrer qu'un bloc suspendu à un ressort vertical effectue un mouvement harmonique simple.


V Dans l'exercice II, la position d'un bloc de 2 kg attaché à un ressort, pour lequel k=200N/m, était donnée par : x = 0.05sin(10t + p/2) m

A - Déterminer K, U et E pour t = p/15 s.

B - Quel est le module de la vitesse en x= A/2

C - Pour quelles valeurs de x a-t-on K=U. Exprimer la réponse en fonction de A.


V - En ayant recours à des considérations énergétiques, déterminer A à la question (A) de III.


VI - Montrer que l'équation différentielle du mouvement harmonique simple peut être obtenue à partir de l'expression donnant l'énergie du système


VII - La position angulaire d'un pendule simple est donnée par :


Q = 0.1psin(2 pt + p/6) rad où t est en secondes

La masse du pendule vaut 0.4 kg.



EXERCICES



I - La fonction d'onde d'une onde stationnaire sur une corde est donnée par


y(x,t) = 4.0 sin(0.5x) cos(30t)


où x et y sont en centimètres et t en secondes .


A - Déterminer la fréquence , l'amplitude et la vitesse des ondes qui se superposent.

B - Quelle est la vitesse d'une particule du milieu en x=2.4 cm à t = 0.8 s.


II - Deux ondes sinusoïdales progressives superposées se propagent dans des directions opposées, chacune à la vitesse de 40 cm/s. Elles ont la même amplitude de 2 cm et une fréquence de 8 Hz.


A - Écrivez la fonction d'onde de l'onde stationnaire résultante. Supposez qu'il y a un noeud

à x = 0

B - Quelle est la distance entre deux noeuds adjacents

C - Quelle est l'amplitude de l'onde stationnaire à x = 0.5 cm.?


III - Une corde de guitare de longueur 60 cm et de masse 2 g est soumise à une tension de 200N. Elle vibre dans son mode fondamental. L'amplitude initiale de 1 mm chute de 10 % en 0.1 s et 50 % de la diminution d'énergie correspondante est dissipée sous forme d'énergie sonore. Déterminer la puissance moyenne rayonnée. Que deviennent les 50 % restants ?


IV - Deux fils ont la même longueur, sont faits du même métal et sont fixés à leurs extrémités. Les rayons sont r1 = 0.7 mm et r2 = 0.5 mm.

A - Quel est le rapport des fréquences fondamentales f2/f1 si les fils sont soumis a la même tension.

B - quel est le rapport des tensions F2/F1, s'ils ont la même fréquence fondamentale.


V - Les fonctions d'onde de deux ondes voyageant sur une corde sont


y1 = 0.03 sin[(p(2x + 10t)] m

y2 = 0.03 sin[(p(2x - 10t)] m

A - Écrivez la fonction d'onde de l'onde stationnaire.

B - Trouvez la position des deux noeuds les plus près de x=0 (pour x > 0)

C - Trouvez la position des deux ventres les plus près de x = 0 pour (x > 0)

D - Trouvez l'amplitude à x = l/8


MINI TEST ( Durée 1 heure )


I - A un ressort de constante de rappel k = 100 N/m est attaché une masse m = 2 kg. Le ressort est comprimé jusqu'à la position x = -6 cm.

1 - Montrer que la masse m effectue un mouvement harmonique simple, donner l'expression de x(t).

2 - Donner l'expression de la vitesse et de l'accélération.

3 - Calculer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle ainsi que l'énergie mécanique.


4 - Comment varie l'énergie mécanique en fonction du temps et en fonction de la position, tracer la variation de l'énergie cinétique de l'énergie potentielle ainsi que de l'énergie mécanique en fonction de la position x.


5 - A quelle position l'énergie cinétique et l'énergie potentielle sont elles égales.


II - V - Les fonctions d'onde de deux ondes voyageant sur une corde sont


y1 = 0.03 sin[(p(2x + 10t)] m

y2 = 0.03 sin[(p(2x - 10t)] m

1 - Écrivez la fonction d'onde de l'onde stationnaire.

2 - Donner la position des noeuds et des ventres.

3 - Trouvez la position des deux noeuds les plus près de x=0

4 - Trouvez la position des deux ventres les plus près de x = 0

5 - Trouvez l'amplitude à x = l/8









PARTIEL - EXAMEN -1



I - Une corde de densité de masse linéique égale a 2.6 g/m est fixée aux deux extrémités. Elle a des modes d'onde stationnaire consécutifs de fréquence 480 Hz et 600 Hz. La tension vaut 12 N. Déterminer


1 - La fréquence fondamentale ?

2 - La longueur de la corde ?


II - Les fréquences de deux modes consécutifs d'un tuyau de 0.45 m de long, sont de 930 Hz et 1302 Hz.

1 - Le tuyau est il ouvert ou fermé ?

2 - Déterminer le mode fondamental.?

3 - Quelle est la vitesse de l'onde.?


III -Une source émet un son de fréquence 1200 Hz. Calculer la fréquence observée et la longueur d'onde mesurée par la source et l'observateur dans chacun des cas suivants :

A - la source s'approche à 40 m/s d'un observateur immobile.

B - La source s'éloigne à 40 m/s d'un observateur immobile.

C - l'observateur s'approche à 40m/s de la source immobile

D -l'observateur s'éloigne à 40m/s de la source immobile

E - la source et l'observateur se déplaçant l'un vers l'autre à 20m/s par rapport au sol.

F - la source et l'observateur s'éloignent l'un de l'autre à 20m/s par rapport au sol.





FORMULAIRE :









CHAPITRE 4


REFLEXION ET REFRACTION DE LA LUMIERE


La lumière : Onde électromagnétique allant (visible violet au rouge)

de 400 a 700 nm.

Les ondes électromagnétiques sont des ondes transversales constituées d'un champ électrique et d'un champ magnétique perpendiculaires entre eux et aussi perpendiculaire a la direction de propagation de l'onde.


Vitesse de propagation c = 3 108 m/s et v = l f .


Optique géométrique : la lumière se propage sous forme de rayons lumineux.


I - Réflexion :



L'angle d'incidence Q est égal à l'angle de Réflexion Q'.

La fréquence ne varie pas lorsque la lumière passe d'un milieu a un autre. Par contre sa vitesse et sa longueur d'onde varient.


V = c/n et l = lo / n

n représente l'indice de réfraction de la lumière du milieu.

c et lo représentent la vitesse et la longueur d'onde dans le vide.

V et l représentent la vitesse et la longueur d'onde dans le milieu.


Le principe de Huygens :

Chacun des points d'un front d'onde agit comme une source de petites ondes secondaires. A un instant ultérieur, l'enveloppe des bords avant des petites ondes forme le nouveau front d'onde.


Exemple 4.1

Deux miroirs M1 et M2 se touchent de manière a former un angle de 120. Soit un rayon incident faisant un angle de 50 avec la normale a M1

a - Dans quelle direction la lumière repart-elle de M2

b - De quel angle total est dévié le rayon incident par rapport a sa direction initiale.


Réfraction :





La réflexion totale interne :



Si le milieu réfringent est l'air, on peut poser na = 1 l'angle d'incidence critique pour l'eau (n=1.33) Qc = 48.8o et pour le verre (n=1.5), Qc = 48.8o


Exemple 4.2 :

Un rayon lumineux incident de longueur d'onde 600nm dans l'air fait un angle de 35o avec la normale d'une plaque en verre de plomb dont l'indice de réfraction est de 1.6. On suppose que l'indice de réfraction de l'air est égal a 1. Déterminer

A - l'angle de réfraction.

B - la longueur d'onde de la lumière dans le verre.

C - la vitesse de la lumière dans le verre.


A - 1.sin(35o) = 1.6 sin(Q2) Q2 = 21o

B - ln = lo/n = 600/1.6 376 nm

C -v = c/n = (3. 108 )/1.6 = 1.88 . 108 m/s


Exemple 4.3 : Un rayon se propage dans un milieu d'indice de réfraction n1 pénètre dans une plaque de verre d'indice de réfraction n2 suivant un angle a avec la normale à la plaque. Il émerge dans le milieu initial. Montrer qu'il ressort de la plaque parallèlement à sa direction incidente.


n1.sin(a) = n2.sin(b)


Le prisme et la dispersion :



A + (90 - r) +(90 - a ) = 180 A = r + a


Déviation totale : F = i + b - A


Exemple 4.6 :


Un rayon incident frappe à un angle de 45o une face d'un prisme équilatéral d'indice de réfraction égal à 1.55. Quel est l'angle de sortie du rayon par rapport à la normale de la deuxième face? Le milieu environnant est l'air (n=1).


!.sin(45) = 1.55 sin(r) r = 27.1o

A = r + a a = 60 - r = 32.9o


1.55 sin(32.9) = 1.sin(b) b = 57.3o


Exemple 4.7


Lors du passage d'un rayon de lumière à travers un prisme, on peut montrer que l'angle de Déviation a une valeur minimale lorsque le rayon traverse le prisme de façon symétrique, c'est à dire lorsqu'il ressort suivant un angle égal à l'angle d'incidence.

Sachant cela trouver l'expression donnant l'indice de réfraction d'un prisme en fonction de l'angle au sommet du prisme et de l'angle de déviation minimal.


A chaque face traversée la direction change de ( i - r) et la déviation totale est

dmin = 2(i -r)

F = 2r

La loi de Snell : sin(i) = n sin(r) avec i = ½ dmin+ r

n = sin(i)/sin(r) = sin[ (F + dmin)/ 2] / sin(F/2)


Les miroirs sphériques ;

Concave : Foyer réel F Distance focale f

Convexe : Foyer virtuel F Distance focale f

Relation entre la distance focale et le rayon de courbure R d'un miroir : f = R/2

Tracé des rayons principaux :

1 - Un rayon passant par le centre de courbure du miroir donne un rayon réfléchi qui passe lui aussi par le centre de courbure.

2- Un rayon parallèle à l'axe optique donne un rayon réfléchi qui passe par le foyer.

3 - un rayon passant par le foyer donne un rayon réfléchi parallèle à l'axe optique.

4 - un rayon tombant au centre du miroir donne un rayon réfléchi qui fait le même angle avec l'axe optique.



La formule des miroirs :

Miroir concave

Miroir convexe

p : distance objet q : distance image f : distance focale




En général, la dimension de l'image n'est pas égale à celle de l'objet. Le grandissement transversal (ou linéaire) m est défini comme étant le rapport de la hauteur de l'image y1 a la hauteur de l'objet yo, c'est a dire m = y1/yo



Si m est positif, l'image est droite ; si m est négatif, l'image est renversée.

Si |m| > 1, l'image est agrandie, si |m|<1, l'image est réduite.

LES LENTILLES ET LES INSTRUMENTS D'OPTIQUE


I - Les dioptres sphériques

pour les petits angles sin(q) = q n1.q1 = n2.q2

q1 = ( a + g ) ..................q2 = ( a - b ), avec a = h/p,....b = h/q...et...g = h/R



Formule des dioptres


Convention des signes :


R < 0 si la surface est concave vue du côté d'où proviennent les rayons incidents

R > 0 si la surface est convexe vue du côté d'où proviennent les rayons incidents.


Pour p et q : les grandeurs réelles sont positives et les virtuelles sont négatives.


Grandissement :



La formule des opticiens :



-q' car l'image est virtuelle (q' > 0)



O' : objet réel. , q' est la distance objet




Foyer : p = Infini


Formule des opticiens

f > 0 lentille convergente

f < 0 lentille divergente


Exemple :5.1 :


q = -1.33 cm , image virtuelle située à gauche du dioptre


Exemple 5.2 :


p = 6 cm

Parois planes : R : infini .: p = 6.65 cm

L'OPTIQUE PHYSIQUE


Les interférences :


La différence de marche d = r2 - r1

Il y a interférence constructive lorsque la différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde :

d = m l , m = 0, ±1, ±2, ±3


Il y a interférence destructive lorsque la différence de marche est un nombre impair de demi-longueurs d'onde :


d = ( m + ½) l , m = 0, ± 1, ±2, ±3, ...


Exemple : 6.1


Expérience d'Young :


d = r2 - r1= S2A = d sinq


d = m l = d sinq

d = ( m + ½) l = d sinq


tan q = y/L


Exemple 6.2

Exemple 6.3











































I - Un objet de 2 cm de hauteur est à 40 cm d'un miroir sphérique. L'image virtuelle droite a une hauteur de 3.6 cm.

1 - De quel type de miroir s'agit-il ?

2 - Trouver la position de l'image ?

3 - Quelle est la distance focale du miroir ?


II - Une lentille convergente ( f = 10 cm) est à 30 cm devant une lentille divergente

(f=-5cm). Trouver l'image finale et le grandissement transversal lorsque la distance objet à partir de la première lentille est de 20 cm.. Faites un tracé des rayons principaux.


III - Soit une personne dont les yeux ont un pouvoir d'accommodation lui permettant de voir avec netteté les objets se situant entre 15 cm et 40 cm.

-Quelles lunettes doit-on lui prescrire.


IV - Deux fentes d'Young sont distantes de 0.2 mm. L'écran d'observation est à 1 m.

La 3ème frange brillante est à 7.5 mm de la frange centrale.

1 -Calculer la longueur d'onde de la lumière utilisée.

2 - Même question en supposant que c'est la 3ème frange sombre qui est à 7.5 mm de la frange centrale.

3 - Quel est l'espacement entre deux franges brillantes ?

4 - Quel est l'espacement entre deux franges sombres ?

5 - Les fentes d'Young et l'écran sont plongés dans l'eau, d'indice de réfraction

n = 1.33. Calculer, pour la longueur d'onde utilisée dans la première question, la nouvelle valeur de l'interfrange ( espacement entre deux franges). De combien s'est déplacée la 3ème frange brillante par rapport à sa position précédente.























Exercices


I - Une source émet un son de fréquence 200 Hz. Calculer la fréquence observée et la longueur d'onde mesurée par la source et l'observateur dans chacun des cas suivants :


a - la source s'approche à 40 m/s d'un observateur immobile.

B - l'observateur s'approche a 40m/s de la source immobile

c - la source et l'observateur se déplaçant l'un vers l'autre à 20m/s par rapport au sol.


II - Quelle est la puissance incidente sur le tympan, d'aire 0.4 cm2, correspondant à

a -120 dB (seuil de sensation douloureuse)

b - 0 dB (seuil d'audibilité).

III - Une source sonore émet à une fréquence de 600 Hz. Ce signal est perçu par un observateur immobile avec une fréquence observée de 640 Hz lorsque la source s'approche de l'observateur. Quelle est la fréquence observée si la source s'éloigne à la même vitesse.


IV - La sirène d'une voiture de police roulant à 40 m/s a une fréquence de 600 Hz. Un camion roule devant la voiture à 20m/s dans la même direction. Quelle est la fréquence du son réfléchi entendu par le policier.















EXAMEN PARTIEL III (Durée 2 heures)


I - Le travail d'extraction d'un photo-électron pour un métal est de 2.2 eV.

A - Quelle est la longueur d'onde du seuil photo-électrique ?

B - Quelle est l'énergie cinétique maximale (en électrons volts ) des électrons émis lorsqu'on utilise une longueur d'onde de 420 nm.

C - Quel est le potentiel d'arrêt correspondant à la question B ?


II - 1 - Quelle est la longueur d'onde maximale capable d'ioniser un atome d'hydrogène dans son état fondamental

2 -Cet atome à l'état fondamental est bombardé par des électrons d'énergie cinétique égale à 12.5 eV.

Quelles longueurs d'onde émises peut-on s'attendre à observer

3 - Que se passe -t-il si les électrons sont remplacés par des photons de même énergie ?


III - 1-Calculer l'énergie de liaison pour le noyau de l'atome de 73Li ainsi que l'énergie moyenne par nucléon.

2 - Calculer l'énergie de liaison pour le noyau de l'atome de 63Li.

3 - Quelle est l'énergie ( E ) requise pour enlever un neutron au noyau de l'atome de 73Li ( 73Li ----> 63Li + n)

comparer ce résultat à celui de la première question?


Données numériques :

masse atomique en u.m.a : atome de 73Li m = 7.016 u.m.a

atome de 63Li m = 6.015 u.m.a

neutron m = 1.00867 u.m.a

atome 11H mH = 1.0078 u.m.a

1 u.m..a = 931.478 MeV


IV - La période (demi-vie) du 90Sr est de 28 ans .

A - déterminer la constante de désintégration du 90Sr.?

B - déterminer l'activité de 1mg de 90Sr en Becquerel ?

C - déterminer l'activité au bout de 112 ans et la masse de 90Sr qui reste au bout des 112 années.


Données numériques : Nombre d'Avogadro : NA = 6.023 x 1023

1 année = 3.156 107 secondes