Composition de moments cinétique

soit un système construit par la juxtaposition de deux systèmes $\Sigma_{1}$ et $\Sigma_{2}$, $\Sigma = \Sigma_{1} + \Sigma_{2}$.

$\Sigma_{1}$ possède um moment cinétique $j_{1}$
$\Sigma_{2}$ possède um moment cinétique $j_{2}$
$\Sigma$ possède um moment cinétique $j = j_{1} + j_{2}$

L'éspace des états correspondant à $\Sigma_{1}$ est : ${\cal{E}}(j_{1})$ de dimension $2j_{1} + 1$
L'éspace des états correspondant à $\Sigma_{2}$ est : ${\cal{E}}(j_{2})$ de dimension $2j_{2} + 1$
L'éspace des états correspondant à $\Sigma$ est : ${\cal{E}}(j)$ de dimension $2j + 1$

$${\cal{E}}(j) = {\cal{E}}(j_{1}) X {\cal{E}}(j_{2})$$

de dimension $(2j_{1} +1)(2j_{2} + 1)$

${\cal{E}}(j_{1})$ $\rightarrow$ vecteurs $\vert j_{1} m_{1}>$
${\cal{E}}(j_{2})$ $\rightarrow$ vecteurs $\vert j_{2} m_{2}>$
${\cal{E}}(j)$ $\rightarrow$ $\vert j_{1} m_{1}>\vert j_{2} m_{2}> = \vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$
$j_{1}^{2}\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}> = j_{1}(j_{1} + 1)\hbar^{2}\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$
$j_{2}^{2}\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}> = j_{2}(j_{2} + 1)\hbar^{2}\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$
$j_{1z}\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}> = m_{1}\hbar\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$
$j_{2z}\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}> = m_{2}\hbar\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$

${j_{1}^{2},j_{2}^{2},j_{1z},j_{2z}}$ ont une base commune $\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$
${j_{1}^{2},j_{2}^{2},j{2},j_{z}}$ ont une base commune $\vert J M>$
Il faudra reconstituer les vecteurs $\vert J M>$ à partir des vecteurs $\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$.

Valeurs propres de $J_{z}$
Les vecteurs $\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$ sont vecteurs propres de $J_{z}$ car $J_{z}\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}> = (j_{1z} + j_{2z})\vert j_{1} j_{2} m_{1}... ...{2})\hbar \vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}> = M\hbar\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$

$M = m_{1} + m_{2}$ et $-(j_{1} + j_{2}) \leq M \leq j_{1} + j_{2}$

Pour trouver le degré de dégénéréscence de M c'est à dire le nombre de vecteurs correspondants à la même valeur propre $M = m_{1} + m_{2}$, il faut chercher le nombre de couples qu'on peut former avec $m_{1}$ et $m_{2}$ tel que $M = m_{1} + m_{2}$.

Les valeurs possibles de J pour avoir M sont :
$J = j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1, j_{1}+j_{2}-2, j_{1}+j_{2}-3 \cdots ,\vert j_{1}-j_{2}\vert$

Dans l'espace ${\cal{E}}(J) = {\cal{E}}(j_{1})x{\cal{E}}(j_{2})$ de dimensions $(2j_{1} +1)(2j_{2} + 1)$ sous-tendu par les vecteurs $\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$, les valeurs possibles de J sont : $\vert j_{1}-j_{2}\vert \leq J \leq j_{1}+j_{2}$.
A chaque valeur de J correspond une seule série de $(2J+1)$ vecteurs propres $\vert J M>$ du moment cinétique total.

$\vert J=j_{1}+j_{2} M=j_{1}+j_{2}>$ dégénéréscence égale 1 $\vert j_{1}+j_{2} j_{1}+j_{2}> = \vert j_{1}j_{2} j_{1}j_{2}>$ vecteur unique

Par application successive de l'opérateur $J-$ et $j_{1-} + j_{2-}$ on peut construire les vecteurs $\vert j_{1}+j_{2}, j_{1}+j_{2}-1>$ qui est combinaison linéaire de $\vert j_{1}j_{2} j_{1}-1 j_{2}>$ et $\vert j_{1}j_{2} j_{1} j_{2}-1>$ c'est deux vecteurs de base forment le vecteur $\vert J M>$ correspondant à $M=j_{1}+j_{2}-1$

Par application successive de l'opérateur $J-$ et $j_{1-} + j_{2-}$ on peut construire l'ensemble des vecteurs $\vert J M>$ à partir des vecteurs de base $\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$, les coefficients de ces combinaisons linéaires sont fixés par les conditions de normalisation et d'orthogonalité.

Cette méthode peut être généralisée sous la forme :

$$\vert JM> = \sum_{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum_{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\vert j_{1}j_{2} m_{1}m_{2}><j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert JM>$$

les coefficients $<j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert JM>$ sont appelés coefficients de Clebsch-Gordan. avec $M = m_{1} + m_{2}$ et $\vert j_{1} - j_{2}\vert \leq j_{1} + j_{2}$

$\vert j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}>$ forment une base orthonormée complète.

$$\sum_{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum_{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}><j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert = \mathbbm{1}$$

$$<JM\vert J^{'}M^{'}> = \delta_{JJ^{'}}\delta_{MM^{'}}$$

$$\sum_{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum_{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}<JM\vert j_... ...1}m_{2}><j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert J^{'}M^{'}> = \delta_{JJ^{'}}\delta_{MM^{'}}$$

Relations d'orthogonalité des coefficients de Clebsch Gordan.

$$\sum_{J=\vert j_{1}-j_{2}\vert}^{j_{1}+j_{2}}\sum_{M=-J}^{J}\vert JM><JM\vert= \mathbbmss{1}$$

$$<j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert j_{1}j_{2}m_{1}^{'}m_{2}^{'}> = \delta_{m_{1}m_{1}^{'}}\delta_{m_{2}^{'}m_{2}^{'}}$$

$$\sum_{J=\vert j_{1}-j_{2}\vert}^{j_{1}+j_{2}}\sum_{M=-J}^{J}<j_{1... ...{1}^{'}m_{2}^{'}\vert JM> = \delta_{m_{1}m_{1}^{'}} \delta_{m_{2}^{'}m_{2}^{'}}$$

Avec $M = m_{1} + m_{2}$ la sommation sur M se réduit à un seul terme et $<j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert JM>$ réels.

1. Relations de récurrence :
   
   $$J_{1\pm}\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}> = \hbar\sqrt{j_{1}(j_{1} + 1) - m_{1}(m_{1} \pm 1)}\vert j_{1}j_{2}m_{1}{\pm}1 m_{2}>$$
   $$J_{2\pm}\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}> = \hbar\sqrt{j_{2}(j_{2} + 1) - m_{2}(m_{2} \pm 1)}\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}{\pm}1>$$
   $$J_{\pm}\vert JM> = \hbar\sqrt{J(J+1) - M(M{\pm}1}\vert JM_{\pm}1>$$
   $$\vert JM> = \sum_{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum_{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}} <j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert JM>\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}>$$
   En appliquant : $J_{-} = j_{1-} + j_{2-}$ au vecteur ci dessus :
   $$\begin{array}{lll} &\hbar\sqrt{J(J+1) - M(M{\pm}1)}\vert JM{... ...m_{2} \pm 1)}\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}{\pm}1>] \\ \end{array}$$
   $$\begin{array}{lll} &\hbar\sqrt{J(J+1) - M(M{\pm}1)}<j_{1}j_{2... ...^{'}m_{2}^{'}\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}{\pm}1> ]~~~ \end{array}$$
   Le premier terme de cette equation est : $<j_{1}j_{2}m_{1}^{'}m_{2}^{'}\vert JM{\pm}1> = 0$ si $M = {\pm}J$
   Cette équation est une relation de récurrence entre les coefficients de Clebsch-Gordan.

   Convention de phase :

   Les relations de récurrence fixent les phases relatives des kets $\vert J M>$. Pour avoir la phase associée à $\vert J M>$ il suffit de chercher la phase associée aux kets $\vert JJ>$. Au moment cinétique J on a (2J + 1) vecteurs $\vert J M>$ dont les phases relatives ne dépendent que de J. Le coefficient $<j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert JJ>$ valeur maximum de $m_{1}=j_{1}$ et $m_{2}=J-j_{1}$

   Pour fixer la phase du ket $\vert JJ>$ nous imposons au coefficient $<j_{1}j_{2}J-j_{1}\vert JJ>$ réel et positif.

Récapitulatif :

• $<j_{1}j_{2}J-j_{1}\vert JJ>$ réel et positif.
• $<j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert j_{1}+j_{2}M> \geq 0$
• $<j_{1}j_{2}j_{1}M-j_{1}\vert JM> \geq 0$
• signe $<j_{1}j_{2}j_{1}m_{1}m_{2}\vert J-J> = (-1)^{j_{2}+m_{2}}$
• $<j_{2}j_{1}m_{2}m_{1}\vert JM> = (-1)^{j_{1}+j_{2}-J}<j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert JM>$
• $<j_{1}j_{2}-m_{1}-m_{2}\vert J-M> = (-1)^{j_{1}+j_{2}-J}<j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert JM>$
• $<j j j -j \vert 0 0>~>~0$

Système pion-nucléon :
Pions $t^{1}$ = 1 $\rightarrow$ $\pi^{+}$, $\pi^{o}$, $\pi^{-}$
Nucléon : $t^{2}$ = $\frac{1}{2}$

$$T = \frac{1}{2} + 1 = \left\{\begin{array}{ll} \frac{3}{2} \right... ...{2} \\ \frac{1}{2} \rightarrow & -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \end{array}\right.$$

$$T = 1 = \left\{\begin{array}{lll} \vert 1~1> & = \vert\frac{1}{2}... ...ac{1}{2}~\frac{1}{2}~\frac{1}{2}~\frac{1}{2}> = \vert$n~n$> \end{array}\right.$$

$$T = 0 \rightarrow \vert 0> = \frac{1}{\sqrt{2}}[\vert\frac{1}{2}~-\frac{1}{2}> - \vert-\frac{1}{2}~\frac{1}{2}>]$$

Etat antisymétrique

$$\vert\frac{3}{2}~\frac{3}{2}> = \vert 1~\frac{1}{2}~1~\frac{1}{2}> = \vert\pi^{+}>\vert p> = \vert\pi^{+}~p>$$

$$\vert JM>=\sum_{m_{1}}\sum_{m_{2}}<j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\vert JM> \vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}>$$

$$\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}>=\sum_{JM}<j_{1}j_{2}JM\vert j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}> \vert JM>$$

$$<j_{1}~j_{2}~m_{1}~m_{2}\vert J~M>=<j_{1}~j_{2}~J~M\vert j_{1}~j_{2}~m_{1}~m_{2}>$$

$$\vert\frac{3}{2}~\frac{1}{2}> = <1 \frac{1}{2} 1 -\frac{1}{2}\vert\frac{3}{2} \frac{1}{2}>\vert 1 \frac{1}{2} 1 -\frac{1}{2}>$$

$$+ <1 \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2}\vert\frac{3}{2} \frac{1}{2}\vert 1 \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2}>$$

$$= \frac{1}{\sqrt{3}}\vert\pi^{+}~n>+\sqrt{\frac{2}{3}}\vert\pi^{\circ}~p>$$ (1)

$$\vert\frac{3}{2}~-\frac{1}{2}> = <1 \frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2}\vert\frac{3}{2} -\frac{1}{2}>\vert 1 \frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2}>$$

$$+ <1 \frac{1}{2} -1 \frac{1}{2}\vert\frac{3}{2} -\frac{1}{2}>\vert 1 \frac{1}{2} -1 \frac{1}{2}>$$

$$= \frac{1}{\sqrt{3}}\vert\pi^{-}~p>+\sqrt{\frac{2}{3}}\vert\pi^{\circ}~n>$$ (2)

$$\vert\frac{3}{2}~\frac{3}{2}> = \vert\pi^{+}~p>$$ (3)

$$\vert\frac{3}{2}~-\frac{3}{2}> = \vert\pi^{-}~n>$$ (4)

$$\vert\frac{1}{2}~\frac{1}{2}> = <1 \frac{1}{2} 1 -\frac{1}{2}\vert\frac{1}{2} \frac{1}{2}>\vert 1 \frac{1}{2} 1 -\frac{1}{2}> \nonumber$$

$$+ <1 \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2}\vert\frac{1}{2} \frac{1}{2}>\vert 1 \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2}>$$

$$= \sqrt{\frac{2}{3}}\vert\pi^{+}~n>-\frac{1}{\sqrt{3}}\vert\pi^{\circ}~p>$$ (5)

$$\vert\frac{1}{2}~-\frac{1}{2}> = <1 \frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2}\vert\frac{1}{2} -\frac{1}{2}>\vert 1 \frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2}>$$

$$+ <1 \frac{1}{2} -1 \frac{1}{2}\vert\frac{1}{2} -\frac{1}{2}>\vert 1 \frac{1}{2} -1 \frac{1}{2}>$$

$$= \frac{1}{\sqrt{3}}\vert\pi^{\circ}~n>-\sqrt{\frac{2}{3}}\vert\pi^{-}~p>$$ (6)

A partir des relations précédentes nous avons :

$$\vert\pi^{\circ}~p> =\sqrt{\frac{2}{3}}\vert\frac{3}{2}~\frac{1}{2}>-\frac{1}{\sqrt{3}}\vert\frac{1}{2}~\frac{1}{2}>$$ (7)

$$\vert\pi^{-}~p> =\frac{1}{\sqrt{3}}\vert\frac{3}{2}~-\frac{1}{2}>-\sqrt{\frac{2}{3}}\vert\frac{1}{2}-\frac{1}{2}>$$ (8)

$$\vert\pi^{+}~n> =\frac{1}{\sqrt{3}}\vert\frac{3}{2}~\frac{1}{2}>+\sqrt{\frac{2}{3}}\vert\frac{1}{2}~\frac{1}{2}>$$ (9)

$$\vert\pi^{\circ}~n> =\sqrt{\frac{2}{3}}\vert\frac{3}{2}~-\frac{1}{2}>+\frac{1}{\sqrt{3}}\vert\frac{1}{2}~-\frac{1}{2}>$$ (10)

$$\vert\pi^{+}~p> =\vert\frac{3}{2}~\frac{3}{2}>$$ (11)

$$\vert\pi^{-}~n> =\vert\frac{3}{2}~-\frac{3}{2}>$$ (12)

Exemple : Etude des sections efficaces des réactions

 A 
$\rightarrow$ $\pi^{+}$ + p  
$\rightarrow$ $\pi^{+}$ + p  


B 		 
$\rightarrow$ $\pi^{-}$ + p 		 
$\rightarrow$ 
$\pi^{\circ}$ + n      


C 		 
$\rightarrow$ $\pi^{-}$ + p 		 
$\rightarrow$ $\pi^{-}$ + p

L'amplitude de diffusion : $<A> = A_{T_{3}}^{T}=f^{2T}$ Indépendance de charge
Réaction A : $<\pi^{+} p\vert A\vert\pi^{+} p>$

$$<\frac{3}{2}~\frac{3}{2}\vert A\vert\frac{3}{2}~\frac{3}{2}> = A_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} = f^{3}$$

Réaction C : $<\pi^{-} p\vert A\vert\pi^{-} p>$

$$\vert\pi^{-}~p>=\frac{1}{\sqrt{3}}\vert\frac{3}{2}~-\frac{1}{2}>- \sqrt{\frac{2}{3}}\vert\frac{1}{2}-\frac{1}{2}>$$

$$<\pi^{-}p\vert A\vert\pi^{-}p> = \frac{1}{3}<\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\vert A\vert\frac{3}{2}\frac{1}{2}> + \frac{2}{3}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\vert A\vert\frac{1}{2}-\frac{1}{2}>$$ (13)

$$= \frac{1}{3}A_{\frac{-1}{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} A_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}$$ (14)

$$= \frac{1}{3}f^{3} + \frac{2}{3}f^{1}$$ (15)

Réaction B : $<\pi^{\circ} n\vert A\vert\pi^{-} p>$

$$\vert\pi^{\circ}~n>=\frac{1}{\sqrt{3}}\vert\frac{3}{2}~-\frac{1}{2}>+ \sqrt{\frac{2}{3}}\vert\frac{3}{2}-\frac{1}{2}>$$

$$<\pi^{\circ}~n\vert A\vert\pi^{-}p> = \frac{\sqrt{2}}{3}<\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\vert A\vert\frac{3}{... ... \frac{\sqrt{2}}{3}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\vert A\vert\frac{1}{2}-\frac{1}{2}>$$ (16)

$$= \frac{\sqrt{2}}{3}A_{\frac{-1}{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{3} A_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}$$ (17)

$$= \frac{\sqrt{2}}{3}f^{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}f^{1}$$ (18)

$$A \rightarrow \hspace{1in} f^{3} = A_{1}$$ (19)

$$B \rightarrow \hspace{1in} \frac{\sqrt{2}}{3}f^{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}f^{1} = A_{2}$$ (20)

$$C \rightarrow \hspace{1in} \frac{1}{3}f^{3}+\frac{2}{3}f^{1} = A_{3}$$ (21)

La section efficace est : $\sigma=\vert A\vert^{2} \hspace{.5in} A_{1}=A_{3}+\sqrt{2}A_{2}$
$\sqrt{2}A_{2}=A_{1}-A_{3} \hspace{.2in} \sqrt{2}\vert A_{2}\vert=\vert A_{1}-A_{3}\vert$
$\vert A_{1}\vert - \vert A_{3}\vert \leq \sqrt{2}A_{2} \leq \vert A_{1}\vert + \vert A_{3}\vert$
$\sqrt{\sigma_{1}} - \sqrt{\sigma_{3}} \leq \sqrt{2\sigma_{2}} \leq \sqrt{\sigma_{1}} + \sqrt{\sigma_{3}}$
supposons $\rightarrow$ $f^{3}$ $\gg$ $f^{1}$ $\rightarrow$ $H = H_{\frac{1}{2}}O_{\frac{1}{2}} + H_{\frac{3}{2}}O_{\frac{3}{2}}$
$A_{1} = f^{3} \rightarrow \sigma_{1} = \vert f^{3}\vert^{2} \rightarrow \sigma^{+}$
$A_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}f^{3} \rightarrow \sigma_{2} = \frac{2}{9}\vert f^{3}\vert^{2} \rightarrow \sigma^{\circ}$
$A_{3} = \frac{1}{3}f^{3} \rightarrow \sigma_{3} = \frac{1}{9}\vert f^{3}\vert^{2} \rightarrow \sigma^{-}$
$\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=9 \hspace{.5in} \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{3}}=\frac{1}{2} \hspace{.5in} \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{3}}=\frac{9}{2}$
Anderson et Fermi
$\sigma_{1}$ $\div$ $\sigma_{2}$ $\div$ $\sigma_{3}$ $\rightarrow$ 120 MeV    93$\div$11$\div$22 mb
9 $\div$ 1 $\div$ 2 $\rightarrow$ 158 MeV       158$\div$17$\div$31 mb

$$\sigma\left(\HepProcess{\HepGenParticle{\pi}{}{+}\HepGenParticle{... ... \HepGenParticle{\pi}{}{\circ}\HepGenParticle{n}{}{} \right) = 9 \div 1 \div 2$$

Ce sont les résonnances $\Delta$ de masse $\approx$ 1230 MeV
$T = \frac{3}{2}$ $\rightarrow$ $\Delta^{++}$, $\Delta^{+}$, $\Delta^{o}$, $\Delta^{-}$